Trong hệ tọa độ Descartes, hình của phương trình bậc hai hai ẩn luôn luôn là một đường conic, và tất cả các đường cô-níc đều có thể biểu diễn được dưới dạng này. Phương trình này có dạng

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\;} với A   {\displaystyle A\ } , B   {\displaystyle B\ } , C   {\displaystyle C\ } không đồng thời bằng 0.

Ta có:

• Nếu B 2 − 4 A C < 0   {\displaystyle B^{2}-4AC<0\ } , phương trình cho ta một hình ellipse (trừ phi đường cô-nic bị suy biến, ví dụ như x 2 + y 2 + 10 = 0   {\displaystyle x^{2}+y^{2}+10=0\ } );
  • Đồng thời nếu A = C   {\displaystyle A=C\ } và B = 0   {\displaystyle B=0\ } , phương trình cho ta hình tròn;
• Nếu B 2 − 4 A C = 0   {\displaystyle B^{2}-4AC=0\ } , phương trình cho một hình parabol;
• Nếu B 2 − 4 A C > 0   {\displaystyle B^{2}-4AC>0\ } , phương trình cho ta một hình hyperbol;
  • Đồng thời nếu A + C = 0   {\displaystyle A+C=0\ } , phương trình cho ta một hình theo tên tiếng Anh là rectangular hyperbola.

Chú ý rằng A và B chỉ là các hệ số của đa thức, không phải là nửa độ dài của trục thực hay trục ảo.

Qua hệ trục tọa độ, các phương trình có thể được viết dưới dạng đơn giản:

• Đường tròn: x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\,}
• Ellipse: x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1   {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\ } , x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1   {\displaystyle {x^{2} \over b^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1\ }
• Parabol: y 2 = 4 a x   {\displaystyle y^{2}=4ax\,\ } , x 2 = 4 a y   {\displaystyle x^{2}=4ay\,\ }
• Hyperbol: x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1   {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\ } , x 2 b 2 − y 2 a 2 = 1   {\displaystyle {x^{2} \over b^{2}}-{y^{2} \over a^{2}}=1\ }
• Hyperbol chữ nhật (hyperbol với hai đường tiệm cận vuông góc): x y = c 2   {\displaystyle xy=c^{2}\ }

Dạng đơn giản của các đường được viết dưới dạng phương trình tham số,

• Đường tròn: ( a cos ⁡ θ , a sin ⁡ θ ) {\displaystyle (a\cos \theta ,a\sin \theta )\,} ,
• Ellipse: ( a cos ⁡ θ , b sin ⁡ θ ) {\displaystyle (a\cos \theta ,b\sin \theta )\,} ,
• Parabol: ( a t 2 , 2 a t ) {\displaystyle (at^{2},2at)\,} ,
• Hyperbol: ( a sec ⁡ θ , b tan ⁡ θ ) {\displaystyle (a\sec \theta ,b\tan \theta )\,} hoặc ( ± a cosh ⁡ u , b sinh ⁡ u ) {\displaystyle (\pm a\cosh u,b\sinh u)\,} .
• Hyperbol chữ nhật: ( c t , c t ) {\displaystyle (ct,{c \over t})\,}